Sens de variation d'une fonction affine

`` Propriété

Soit \(f\)  la fonction affine définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f (x) = mx + p\) , où  \(m\) et \(p\) sont des réels.

• Si \(m > 0\) , alors \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) .
  
• Si \(m < 0\) , alors \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) .
  
• Si \(m = 0\) , alors  \(f\) est constante sur \(\mathbb{R}\) .
  

Démonstration

• Cas \(m=0\)
  

Pour tout réel \(x\) , on a :  \(f (x) = 0 × x + p = p\) .

\(f\) est bien une fonction constante.

• Cas \(m>0\)
  

On considère \(a\) et \(b\)   deux réels tels que \(a < b\) .

\(m\)  étant strictement positif :

               \(a < b\)

\(\) \({\displaystyle \iff }ma < mb\)    

\(\) \({\displaystyle \iff }ma + p < mb + p\)

\(\) \({\displaystyle \iff }f (a) < f (b)\)

L'ordre est conservé : si \(a < b\)  alors \(f (a) < f (b)\) , la fonction \(f\)  est donc strictement croissante sur \(\mathbb{R}.\)

• Cas \(m<0\)

On considère \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a < b\) .

\(m\)  étant strictement négatif :

               \(a < b\)

\({\displaystyle \iff }ma > mb\)    \(\)            

\({\displaystyle \iff }ma + p > mb + p\)

\({\displaystyle \iff }f (a) > f (b)\)

L'ordre est inversé : si \(a < b\)  alors \(f(a) > f(b)\) , la fonction \(f\)  est donc strictement décroissante sur \(\mathbb{R}\) .